Die Varianz

Die Varianz beschreibt die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert und stellt ein Maß für Streuung dar. Nehmen wir wieder unseren Würfel als Beispiel. Hier haben wir berechnet, dass der Erwartungswert 3,5 beträgt. Wäre nun die Varianz sehr klein, dann würden die Augenzahlen, die wir würfeln, nur sehr wenig vom Erwartungswert abweichen. Natürlich wissen wir, dass jede Augenzahl gleich wahrscheinlich ist. Wir erwarten also eine relativ große Varianz. Mathematisch ausgedrückt: $$ Var[X] = E[(X - E[X])^2] $$

Empirische Varianz

So wie schon beim Erwartungswert wollen wir mit statistischen Methoden jetzt die Varianz für unseren Würfel bestimmen. Dabei verwenden wir die empirische Varianz. Kennen wir die Verteilung einer Zufallsvariable und bestimmen die Varianz direkt, dann gehört das zur Stochastik. Sprechen wir von der empirischen Varianz, dann wollen wir aus Beobachtungen diese berechnen und kennen normalerweise die Verteilung nicht. Wir berechnen also den Mittelwert (arithmetisches Mittel) der quadratischen Abweichung von 3,5. Wenn wir also beispielsweise fünf mal würfeln: $$ \hat{\sigma^2} = \frac{(x_1 - 3.5)^2 + (x_2 - 3.5)^2 + (x_3 - 3.5)^2 + (x_4 - 3.5)^2 + (x_5 - 3.5)^2}{5} $$ Würfelt man oft genug, dann nähert sich die empirische Varianz der Varianz ( \( \approx 2.9\) ) an. In der folgenden Animation kannst du das ausprobieren.