Der Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Wert, der im Mittel von dieser angenommen wird. Dabei werden die verschiedenen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten gewichtet. Nehmen wir also zum Beispiel einen Würfel zur Hand. Dieser hat bekanntlich sechs Seiten und jede tritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Der Wert eines Wurfs ist die Augenzahl. Unsere Zufallsvariable kann also alle möglichen Augenzahlen annehmen.

Sei \(X\) unsere Zufallsvariable, dann berechnet sich der Erwartungswert wie folgt: $$ E[X] = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = 3.5$$

Mittelwert und Erwartungswert

Wir nehmen jetzt an, dass wir nicht wissen, wie man den Erwartungswert einer Zufallsvariable berechnen kann. Wie können wir trotzdem eine Schätzung für unseren Würfel bekommen? Wir würfeln mehrmals. Dabei addieren wir die Augenzahlen auf und dividieren am Ende durch die Anzahl der Würfe, bilden also das arithmetische Mittel (im Folgenden als Mittelwert bezeichnet). Wir betrachten nur noch Realisierungen \( x_i \in \{1,2,3,4,5,6\} \) einer Zufallsvariable, wechseln also von der Stochastik in die Statistik! Würfeln wir zum Beispiel 5 mal, dann berechnet sich der Mittelwert \( \bar{x} \) wie folgt: $$ \bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} $$ Wenn man oft genug würfelt, dann nähert sich der Mittelwert dem Erwartungswert an. Das soll in der folgenden Animation visualisiert werden. Auf der y-Achse ist der aktuelle Mittelwert abgebildet, die x-Achse zeigt wie oft schon gewürfelt wurde. Da der Erwartungswert 3,5 beträgt, sollte der Mittelwert sich diesem Wert annähern.

Ein verwandter Begriff ist die Varianz. Diese beschreibt den Erwartungswert der quaratischen Abweichung vom Erwartungswert. Dazu gibt es auch eine Visualisierung.