Bedingte Wahrscheinlichkeit

Mit bedingter Wahrscheinlichkeit können Vorkenntnisse in die Wahrscheinlichkeitsrechnung einfließen. Betrachten wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeit , dass es morgen regnet. Diese ist höher, wenn wir wissen, dass es heute bewölkt ist.
Mathematisch bedeutet die Berechnung einer bedingten Wahrscheinlichkeit, dass wir den betrachteten Ereignisraum verkleinern. Wir betrachten also nicht alle Tage, sondern nur die, an denen es am Vortag bewölkt war. Dann berechnen an wie vielen Tagen es davon geregnet hat. Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit.

Werfen auf eine Dartscheibe

In der folgenden Animation sehen wir eine quadratische Dartscheibe. Es wird zufällig auf die Scheibe geworfen. Jeder Punkt wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen. Das Rechteck stellt unseren gesamten Ereignisraum dar, also jeden möglichen Punkt im Rechteck. Es kann also nicht vorbeigeworfen werden. Den violetten Kreis bezeichnen wir als \(V\) und den orangen Kreis als \(O\). Diese überschneiden sich und wir möchten diese Fläche genauer untersuchen. Es muss jetzt zwischen zwei Dingen unterschieden werden: Der Verbundswahrscheinlichkeit und der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Die Verbundswahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man in Kreis \(V\) und in Kreis \(O\) trifft (also in die gemeinsame Fläche der Kreise). In Mengenschreibweise: \( V \cap O \). Eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit \(P(O|V)\) ."Wenn ich in Kreis \(V\) getroffen habe, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich auch in \(O\) treffe". Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit "schrumpfen" wir unseren Ereignisraum also auf alle Elemente in der Bedingung, hier \(V\) und vergessen den Rest. Probiere das mal in der Visualisierung aus!

Da jeder Punkt gleichwahrscheinlich ist, berechnen sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten wie folgt: $$ P(O|V) = \frac{Fläche(V \cap O)}{Fläche(V)} $$ $$ P(V|O) = \frac{Fläche(V \cap O)}{Fläche(O)} $$